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Il paradosso del Problema di Monty Hall

Ieri sera ho visto il film 21 che narra la storia, a quanto pare vera, di uno studente del MIT con problemi finanziari che, grazie al suo talento per numeri e calcoli entra nel team di blackjack della scuola che ha elaborato un complesso sistema di conteggio delle carte da gioco, che gli permetterà di sbancare i tavoli di blackjack di Las Vegas.
Nelle fasi iniziali del lungometraggio, si assiste ad una lezione di un professore di matematica, che propone al protagonista il Problema di Monty Hall, un noto paradosso della teoria della probabilità con una soluzione del tutto controintuitiva, sebbene il problema non conduca a una contraddizione logica.

Problema

In questo gioco, vengono mostrate a un giocatore tre porte chiuse; al di là di una c’è un’automobile e dietro ciascuna delle altre due si nasconde una capra. Al giocatore è permesso aprire una porta, e tenersi ciò che si trova di là da essa. Ad ogni modo, dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha ancora aperta, il conduttore dello show (che conosce ciò che si trova dietro ogni porta) apre un’altra porta, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all’unica porta restante. Passare all’altra porta migliora le chance del giocatore di vincere l’automobile? La risposta è, controintuitivamente, sì: le probabilità di vittoria passano da 1/3 a 2/3, raddoppiando di fatto le probabilità di trovare l’automobile.

La soluzione

La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:

Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l’auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia “cambiare” porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.

L’errore comune

L’obiezione più comune alla soluzione è fornita dall’idea che, per varie ragioni, il passato possa essere ignorato quando si valutano delle probabilità. Dunque, la scelta della prima porta e il ragionamento del conduttore circa quale porta aprire si possono trascurare; dal momento che si può scegliere tra due porte, la probabilità di scegliere quella giusta dovrebbe essere pari al 50%.

Per dimostrare l’inesattezza di questa convinzione è possibile porci una domanda. Ipotizziamo che un giocatore adotti la strategia di non accettare mai l’offerta del conduttore, qualunque essa sia. Se le probabilità di vincita all’inizio sono del 33%, ha senso pensare che queste passino automaticamente al 50% solo perché il conduttore ha chiesto qualcosa che il giocatore non ascolta neanche? Ovviamente no.
Sebbene ignorare il passato funzioni in certi giochi, come ad esempio nel lancio di una moneta, non funziona necessariamente in tutti i giochi. Un rilevante controesempio è fornito dal conteggio delle carte uscite in certi giochi di carte (come appunto il blackjack), che consente ai giocatori di sfruttare a proprio vantaggio l’informazione riguardante eventi passati.

Conclusione

In altri termini, la probabilità di scegliere la capra (insuccesso) all’inizio è di 2/3. Assumendo che come prima scelta si incappi “sempre” (2/3 delle volte) nella capra, si dovrà solo attendere che venga scoperta l’altra porta con la capra, per poi cambiare la propria scelta con quella con maggiore probabilità di successo.

In altre parole, assumendo di aver scelto coscientemente uno dei due errori possibili, attendo che mi si mostri il secondo e cambio scelta. Così facendo, su un numero infinito di partite se ne vincono SEMPRE 2/3.