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Ieri sera ho visto il film 21 che narra la storia, a quanto pare vera, di uno studente del MIT con problemi finanziari che, grazie al suo talento per numeri e calcoli entra nel team di blackjack della scuola che ha elaborato un complesso sistema di conteggio delle carte da gioco, che gli permetterà di sbancare i tavoli di blackjack di Las Vegas.
Nelle fasi iniziali del lungometraggio, si assiste ad una lezione di un professore di matematica, che propone al protagonista il Problema di Monty Hall, un noto paradosso della teoria della probabilità con una soluzione del tutto controintuitiva, sebbene il problema non conduca a una contraddizione logica.
Problema
In questo gioco, vengono mostrate a un giocatore tre porte chiuse; al di là di una c’è un’automobile e dietro ciascuna delle altre due si nasconde una capra. Al giocatore è permesso aprire una porta, e tenersi ciò che si trova di là da essa. Ad ogni modo, dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha ancora aperta, il conduttore dello show (che conosce ciò che si trova dietro ogni porta) apre un’altra porta, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all’unica porta restante. Passare all’altra porta migliora le chance del giocatore di vincere l’automobile? La risposta è, controintuitivamente, sì: le probabilità di vittoria passano da 1/3 a 2/3, raddoppiando di fatto le probabilità di trovare l’automobile.
La soluzione
La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:
- Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l’altra capra. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
- Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l’altra capra. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
- Il giocatore sceglie l’auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l’altra capra.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l’auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia “cambiare” porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.
L’errore comune
L’obiezione più comune alla soluzione è fornita dall’idea che, per varie ragioni, il passato possa essere ignorato quando si valutano delle probabilità. Dunque, la scelta della prima porta e il ragionamento del conduttore circa quale porta aprire si possono trascurare; dal momento che si può scegliere tra due porte, la probabilità di scegliere quella giusta dovrebbe essere pari al 50%.
Per dimostrare l’inesattezza di questa convinzione è possibile porci una domanda. Ipotizziamo che un giocatore adotti la strategia di non accettare mai l’offerta del conduttore, qualunque essa sia. Se le probabilità di vincita all’inizio sono del 33%, ha senso pensare che queste passino automaticamente al 50% solo perché il conduttore ha chiesto qualcosa che il giocatore non ascolta neanche? Ovviamente no.
Sebbene ignorare il passato funzioni in certi giochi, come ad esempio nel lancio di una moneta, non funziona necessariamente in tutti i giochi. Un rilevante controesempio è fornito dal conteggio delle carte uscite in certi giochi di carte (come appunto il blackjack), che consente ai giocatori di sfruttare a proprio vantaggio l’informazione riguardante eventi passati.
Conclusione
In altri termini, la probabilità di scegliere la capra (insuccesso) all’inizio è di 2/3. Assumendo che come prima scelta si incappi “sempre” (2/3 delle volte) nella capra, si dovrà solo attendere che venga scoperta l’altra porta con la capra, per poi cambiare la propria scelta con quella con maggiore probabilità di successo.
In altre parole, assumendo di aver scelto coscientemente uno dei due errori possibili, attendo che mi si mostri il secondo e cambio scelta. Così facendo, su un numero infinito di partite se ne vincono SEMPRE 2/3.
anche a me aveva colpito quella scena del film =) grazie di aver dato una più completa spiegazione^^
perché è venuto fuori quell’url accanto al mio nickname? O_o io voglio il mio gravatar >.<
@Cicciokun: hmm ho qualche problema con la visualizzazione dei gravatar … provo a vedere
si, anche nei vecchi articoli era tutto un caos =\ ma vedo che hai sistemato^^
Bello il film, poco conosciuto in realtà. L’ho visto un annetto fa e ancora lo consiglio in giro!
“21 vittoria, grande baldoria!” 😉
Ciao,
Emanuele
@Emanuele, @Cicciokun: confermo… bel film! 🙂
Dunque… io sono d’accordo con te su tutto pero’ ti voglio fare una domanda: siamo io e te, le tre famose porte, due capre e una macchina in palio. Dunque io che sono il pseudo-gallo della situazione ti sfido e ti dico che indovino dietro a quale porta sta la macchina… tu accetti
io scielgo la porta numero uno
tu sai dove e’ la macchina, e la macchina e’ nella porta numero due
Per quale ragione mi dovresti dire ti offro la porta numero due o tre avendo la vittoria in tasca? hai gia’ vinto senza fare niente.
Il gioco è fatto, hai vinto tu. Perchè devi offrirmi la possibilita’ di vincere e’ naturale che una persona non accetterebbe mai la tua proposta perchè pensa, se la macchina è nella porta numero tre o due lui ha vinto in piu sei il mio avversario e non mi offriresti mai la porta vincente.
Nel film l’esempio è fatto appunto per il legame tra il gioco delle porte e quello del blackjack, come spiegato da Antonio, credo. Per dimostrare insomma che il ragazzo ha stoffa in quel campo, immagino. Ovviamente poi questi giochini sono fatti apposta per allenare la mente, non per ridprodurre una situazione reale. Per quanto corretta la tua osservazione, Vegakiss, il gioco si regge sul fatto che bisogna solo ragionare in termini di logica e probabilità, non di verosimilità. Le porte e le capre e lo show servono solo a contestualizzare l’esercizio.
Al contrario, giochi in cui serve anche il buon senso oltre alla capacità logica è tipo quello dove gli indiani catturano 5 cowboy e danno loro una possibilità di fuga (potremmo chiederci perché, visto che li hanno già catturati, ma la storia serve appunto solo a contestualizzare il giochino logico in qualcosa a noi più affine). Per sfuggire alla morte i cowboy devono indovinare di che colore è la piuma che è stata messa loro in testa senza però guardarsela. In aggiunta uno di loro è stato messo dietro un muro che non possono vedere direttamente, e gli altri quattro sono messi in fila indiana guardando tutti nella stessa direzione in avanti (è difficile spiegare senza disegnini). Le piume sono 3 di blu e 2 rosse e questo i cowboy lo sanno. Mi pare tutto qui per la consegna.
Per la soluzione il cowboy che poi indovinerà, dedurrà il suo colore dal solo fatto che gli altri non reagiscono subito, escludendo alcune ipotesi perché gli altri avrebbero detto la risposta subito. A grandi linee funziona così, anche se non mi ricordo esattamente.