Su Archimedes-Lab (recensito da Vortexmind) trovate una pagina dedicata ai segreti dei numeri da 0 a 500. Qui ho trovato un interessante curiosità su una proprietà del numero 5.

Come si può contare in ding-bong?

Per i più curiosi, ecco la dimostrazione che ha dato Davide a questo particolare aspetto della teoria dei numeri.

Siano ding uguale a 5 e bong uguale 7. Si può dimostrare che dal numero 24 in poi,
tutti i numeri sono combinazione (lineare) di ding e/o bong.

Fornisco ora una dimostrazione semplice e intuitiva di questa proprietà
(per comprenderla è necessario conoscere solo la tabellina del 5, del 7 e le addizioni).

I numeri da noi usati, espressi in base decimale, possono finire con 10
possibili cifre: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9. Introducendo un simbolo “ding” per il numero 5
si possono eliminare 2 di queste cifre finali, ovvero il 5 stesso e lo zero, dal momento
che questa cifra è rappresentabile da 5 per 2. abbiamo così ridotto i simboli necessari
da 10 a 9 con la limitazione che questa riduzione entra in vigore solo per numeri uguali
o maggiori di 10)

Se introduciamo anche il simbolo “bong” per il numero 7 possiamo rappresentare tutte
le altre cifre finali necessarie. Infatti aiutandoci con la tabellina del 7:

7, 14, 21 e 28 ci forniscono delle cifre finali 7, 4, 1 e 8. E per le altre?
Basta ricordare che 7 si può scrivere come 5 + 2, 9 come 5 + 4, 6 come 5 + 1 e 8 come 5 + 3,
dove 2, 9, 5 e 3 erano le cifre mancanti.

Ed allora si capisce facilmente che, partendo dallo zero, arrivati al 7 si possono scrivere
tutti i numeri con cifra finale 7 o 2, arrivati al 14 si possono scrivere tutti i numeri
con cifra finale 4 o 9, arrivati al 21 si possono scrivere tutti i numeri con cifra finale 1 o 6,
arrivati al 28 si possono scrivere tutti i numeri con cifra finale 8 o 3, complentando tutte le
cifre finali necessarie per scrivere tutti numeri.

A questo punto ci si rende conto che il numero più alto senza la cifra finale disponiibile è il 23 perché
il 3 deve attendere l’arrivo del 28 (l’ultimo della serie dei multipli di 7) per formarsi.
E di conseguenza il 24 è il primo numero che ha tutte le cifre a disposizione.

Qualche esempio:

Se dobbiamo cercare la rappresentazione di 24 non rispondiamo 21 + 3, perché il 3 non è direttamente
rappresentabile, ma rispondiamo 10 + 14 ovvero ding-ding-bong-bong.
Il 25 è ovviamente 5 per 5, bong-bong-bong-bong-bong, mentre il 26 non è 25 + 1, ma 15 + 21, dal
momento che il 21 è il primo numero con cifra finale 1 direttamente rappresentabile.

Se avete capito il ragionamento provate a scrivere 38 nella numerazione ding-bong.

Evidenzia la riga sottostante per far comparire la soluzione

Soluzione: 38 = 10 + 28 = 5 per 2 + 7 per 4 = ding-ding-bong-bong-bong-bong